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Oi! Esse é um texto “extra”, feito pra ser uma espécie de sucessor espiritual do meu outro texto “Sobre primos em algumas progressões aritméticas”, já que vamos falar denovo sobre números primos e progressões aritméticas. Mas hoje, a ideia é falar dessa prova “topológica” da infinitude dos números primos, escrita por Furstenberg no seu artigo On the infinitude of Primes. Já que o artigo do Furstenberg não tem nem 15 linhas e eu tenho uma prova chegando em poucos dias, eu vou tentar ser breve nesse texto. Então vamos lá.

Primeiramente, definindo algumas coisas:

• Vamos denotar o domínio dos números inteiros por \(\mathbb{Z}\).
• Nesse texto, vamos considerar uma progressão aritmética \(a\) como sendo uma função \(a : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) tal que \(a_n = An+B\), onde \(A\) e \(B\) são inteiros. Ou seja, vamos considerar nossas progressões aritméticas como sendo sempre infinitas e crescendo para os dois lados, em vez de tratá-las como sequências em \(\mathbb{N}\).
• Também vou denotar tanto a progressão aritmética \(a\) quanto a sua imagem por \(A\mathbb{Z}+B\).

A ideia dessa prova é primeiro definir uma topologia sobre \(\mathbb{Z}\) de modo que um subconjunto não-vazio \(B\) de \(\mathbb{Z}\) seja aberto quando para todo elemento \(b\) de \(B\) exista uma progressão aritmética \(a\mathbb{Z}+b\) para algum \(a \geq 1\) tal que \(a\mathbb{Z}+b \subset B\). Relembrando a definição de uma topologia, podemos verificar que essa estrutura é, de fato, uma topologia:

• Tanto \(\emptyset\) quanto \(1\mathbb{Z}+0 = \mathbb{Z}\) são trivialmente abertos.
• Seja \(\{B_i\}\) uma coleção de abertos em \(\mathbb{Z}\). Então \(\bigcup B_i\) é aberto, porque para cada \(x \in \bigcup B_i\) é possível encontrar algum \(i\) tal que \(b \in B_i\), então \(a\mathbb{Z}+b \subset B_i\) para algum \(a \geq 1\). Então, temos que \(a\mathbb{Z}+b \subset \bigcup B_i\).
• Seja \(X_1, ..., X_n\) um número finito de abertos em \(\mathbb{Z}\). Já que podemos assumir que \(\bigcap_{i=1}^n X_i \neq \emptyset\), temos que para algum \(b \in \bigcap_{i=1}^n X_i\), existem progressões aritméticas \(\alpha_i \mathbb{Z} + b \subset X_i\), onde \(\alpha_i \geq 1\). Portanto, temos que \((\alpha_1 \cdots \alpha_n)\mathbb{Z} + b\) é uma progressão aritmética contida em cada um \(\alpha_i \mathbb{Z} +b\), então \((\alpha_1 \cdots \alpha_n) \mathbb{Z} + b \subset \bigcap_{i=1}^n X_i\). Então, podemos ver que cada elemento de \(\bigcap_{i=1}^n X_i\) é uma progressão aritmética que está inteiramente contida em \(\bigcap_{i=1}^n X_i\), logo \(\bigcap_{i=1}^n X_i\) é um aberto.

Nessa topologia que nós definimos sobre \(\mathbb{Z}\), todo aberto não-vazio de \(\mathbb{Z}\) é infinito, pois todo subconjunto não-vazio de \(\mathbb{Z}\) contém uma progressão aritmética. Além disso, qualquer progressão aritmética é tanto aberta quanto fechada. Pra mostrar que é aberta, podemos ver imediatamente que para todo \(an+b\) em \(a\mathbb{Z}+b\), temos que \(an+a\mathbb{Z}+b = a\mathbb{Z} + b\). Para mostrar que é fechada, podemos mostrar que seu complementar em \(\mathbb{Z}\) é aberto. Seu complementar é a união finita de progressões aritméticas \(a\mathbb{Z}+b'\), onde \(0 \leq b' \leq a-1\) e \(a \not\equiv b' \mod a\). Já que cada \(a\mathbb{Z}+b'\) é aberto, a união de \(a-1\) progressões aritméticas desse tipo também é aberta.

Agora que nós definimos totalmente nossa topologia sobre \(\mathbb{Z}\), podemos rapidamente provar o teorema de Euclides. Seja a união \(\bigcup p\mathbb{Z}\) onde p é um número primo. Já que todo inteiro exceto \(-1\) e \(1\) tem pelo menos um fator primo, temos que \(\bigcup p\mathbb{Z} = \mathbb{Z} \setminus \{-1,1\}\). Já que esse subconjunto \(\{-1,1\}\) é não-vazio e finito, ele não é aberto, logo, seu complementar em \(\mathbb{Z}\) não é fechado. Mas todo \(p\mathbb{Z}\) é fechado, e uma união finita de fechados é um fechado, então \(\bigcup p\mathbb{Z}\) não pode ser uma união finita, portanto, os primos são infinitos.

Para fechar, só de curiosidade: essa topologia que definimos sobre \(\mathbb{Z}\), é conhecida como topologia profinita, e foi inclusive chamada de topologia de inteiros igualmente espaçados no livro Contraexemplos em Topologia de Steen. Essa topologia foi introduzida motivada pela Teoria de Galois infinita, e pode ser definida usando subgrupos finitamente indexados em qualquer grupo. Ademais, ela também tem bastante a ver com a topologia \(\mathcal{I}\)-ádica num anel comutativo, que pode ser definida usando coclasses de potências de um ideal \(\mathcal{I}\) nesse anel. Se você quiser, pode ler mais sobre isso aqui.

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Editado por último em 25 de abril de 2025}