A prova do dia é: $\mathbb{C}$ é algebricamente fechado
Teorema: O corpo $\mathbb{C}$ é algebricamente fechado.
Lema 1: Toda função complexa limitada holomorfa em todo o plano complexo é constante.
Por suposição, existe um $r \geq 0$ tal que $|f(\mathbb{C})|$ está contido na bola fechada de raio $r$ centrada na origem. Para qualquer número real positivo $R$, considere $f_R(z) = f(Rz)$. Pela fórmula da Integral de Cauchy:
$$
|f'_R(z)| = \frac{1}{2\pi}\left|\int_{C_1(z)}\frac{f_R(w)}{(w-z)}dw\right|\leq\frac{1}{2\pi}\int_{C_1(z)}r|dw|=r
$$
Onde $C_1(z)$ é o círculo de raio $1$ centrado em $z$. Então:
$$
|f'(z)| = \frac{|f'_R(z)|}{R} \leq \frac r R
$$
Já que $R$ é arbitrário, segue que $|f'(\mathbb{C})|=\{0\}$, então $f$ é constante.
Prova:
Seja $P$ um polinômio de grau $n$ sobre $\mathbb{C}$.
Suponha que $P$ não tem raízes em $\mathbb{C}$. Então, $\frac{1}{P(z)}$ é holomorfa em todo o $\mathbb{C}$.
Adicionalmente, sempre existe um número real positivo $R$ tal que:
$$
\left|\frac{1}{P(z)}\right| < \frac{2}{|a_n|R^n}\text{, sempre que $|z| > R$.}
$$
Onde $a_n$ é o coeficiente líder de $P$.
Então $\frac{1}{P(z)}$ é limitada na região fora do disco $|z| \leq R$. Porém, $\frac{1}{P(z)}$ é contínua nesse disco fechado, então ela também é limitada nele. Portanto, $\frac{1}{P(z)}$ é limitada em $\mathbb{C}$ como um todo.
Pelo lema 1, $P$ é constante. Absurdo.