A prova do dia é: $\sqrt{2}$ é irracional
Teorema: $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$
Prova 1:
Seja $\nu_{p}(n) = max\{k \in \mathbb{N} : p^k \mid n \}$ a valorização p-ádica de n, onde
p é primo.
Suponha por absurdo que $\sqrt{2}=\frac{p}{q},\,p,q\in\mathbb{Z}$ e $q\neq0$.
Então $2=\frac{p^2}{q^2} \iff 2q^2 = p^2$, e disso temos que $\nu_{2}(p^2)=2\nu_{2}(p),$ mas $\nu_{2}(2q^2) = 2\nu_{2}(q)+1$.
Pelo teorema fundamental da aritmética, a valorização p-ádica de um inteiro é única.
Absurdo em supor que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.
Prova 2:
Suponha que $\sqrt{2}=\frac{p}{q},\,p,q\in\mathbb{Z}$ e $q>0$.
Seja $A=\{m\in\mathbb{Z}^{+} : m\sqrt{2}\in\mathbb{Z}\}$. Então $p=q\sqrt{2} \in\mathbb{Z}^{+}
\implies q\in A$.
Já que $A\subset\mathbb{Z}^{+}$ e $A\neq\emptyset$, então $\exists s = min\{A\}$ (boa ordem).
Seja $r=s\sqrt{2}-s=s(\sqrt{2}-1)$. Então $r\sqrt{2}=2s-s\sqrt{2}$, e já que $2s\in\mathbb{Z}^{+}$ e
$s\sqrt{2}\in\mathbb{Z}^{+} \implies r\in\mathbb{Z}^{+} \implies r\in A.$
Mas $r=s(\sqrt{2}-1)<s$, absurdo, já que $s=min\{A\}$.