A prova do dia é: $e$ é irracional
Teorema: $e \not\in \mathbb{Q}$
Prova:
Por definição, $e = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$. Seja a soma parcial
$S_N = \sum\limits_{n=0}^{N}\frac{1}{n!}$ e $L = N!e - N!S_N$. Já que ambas as
somas têm somente termos positivos, $L>0$. Temos que $L=\sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\frac{N!}{n!}$.
Daí, podemos reordenar os índices, escrevendo $L=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{N!}{(N+k+1)!}$.
Agora, observe que $\frac{(N+k+1)!}{N!} = (N+k+1)\cdot(N+k)\cdots(N+1) > N$, já que $N+k+1 > N$.
Adicionalmente, $(N+k)\cdots(N+1)$ é o produto de $k$ números consecutivos, ou seja, esse produto é
divisível por $k!$, sendo, em particular, maior que ou igual a $k!$. Temos então, que
$\frac{(N+k+1)!}{N!} > Nk!$. Logo, $0 < N!e - \sum\limits_{n=0}^{N}\frac{N!}{n!} < \sum\limits_{k=0}^{\infty}
\frac{1}{Nk!} = \frac{e}{N}$.
Agora, por absurdo, suponha que $e=\frac{p}{q}$ com $p,q \in \mathbb{Z}^{+}$, tome $\mathcal{L}=max\{3,q\}$
e considere a relação que obtivemos anteriormente com $N=\mathcal{L}$. Ficamos com
$0 < \mathcal{L}!\frac{p}{q}-\sum\limits_{n=0}^{\mathcal{L}}\frac{\mathcal{L}}{n!} < \frac{e}{\mathcal{L}}$.
Temos que $q \mid \mathcal{L}!$, logo $\mathcal{L}!\frac{p}{q} \in \mathbb{Z}$, entã̀o
$\mathcal{L}!\frac{p}{q}-\sum\limits_{n=0}^{\mathcal{L}}\frac{\mathcal{L}}{n!} \in \mathbb{Z}$.
Mas pra $\mathcal{L} \geq 3$, $\frac{e}{\mathcal{L}} < 1$. Já que não existe inteiro entre
$0$ e $1$, absurdo em supor que $e \in \mathbb{Q}$.