A prova do dia é: $V+F-A=2$ para todo poliedro convexo
Teorema: Para todo poliedro convexo $P$ com $F$ faces, $A$ arestas e $V$ vértices, $V+F-A=2$.
Prova (feita por
Zoroastro Azambuja Filho):
Primeiramente, um subconjunto $C$, do plano ou do espaço, é chamado de convexo quando todo
segmento que liga dois pontos de $C$ está contido em $C$. E uma união finita de polígonos
convexos chamados de faces, tal que a interseção de duas faces quaisquer seja ou uma aresta
comum a essas faces, ou um vértice comum ou vazia, é chamada de poliedro.
Seja $r$ uma reta que não é paralela a nenhuma das faces de $P$, e $H$ um plano que não
intersecte $P$ e seja perpendicular a $r$. $H$ será chamado de plano horizontal e as retas
paralelas a $r$ serão chamadas de retas verticais. $H$ divide o espaço em dois semi-espaços,
um dos quais contém $P$. Este será chamado de semi-espaço superior, e diremos que seus pontos
estão acima de $H$.
Agora considere o sol brilhando à pino sobre o semi-espaço superior, considerando que seus raios
de luz são retas verticais. A cada ponto do semi-espaço superior corresponde um ponto $So(x)$ em $H$,
que chamaremos de sombra de $x$, obtido como a interseção do plano $H$ com a reta vertical que passa
por $x$. A sombra de qualquer conjunto $X,$ contido no semi-plano superior é, por definição, o conjunto
formado pelas sombras dos pontos de $X.$
A interseção de uma reta vertical com o conjunto convexo limitado por $P$ é um subconjunto convexo
dessa reta, logo, se não for vazia, é um segmento cujos extremos pertencem a $P$, ou é um único ponto
de $P$. Portanto, uma reta vertical arbitrária só pode ter $0$, $1$ ou $2$ pontos em comum com $P$.
Isto é, cada ponto da sombra de $P$ é sombra de um ou de dois pontos de $P$.
Mas a sombra de $P$ é um polígono convexo do plano horizontal, cujo contorno $\gamma'$ é a sombra de
uma poligonal fechada $\gamma$, formada por arestas de $P$. Cada ponto de $\gamma'$ é sombra de um
único ponto de $P$ (pertencente a $\gamma$). A poligonal $\gamma$ é chamada de contorno aparente de
$P.$ Cada ponto interior da sombra de $P$ (isto é, não pertencente a $\gamma'$) é sombra de $2$ pontos
de $P$. Dados dois pontos de $P$ que têm a mesma sombra, ao mais alto (mais distante de $H$) chamaremos
ponto iluminado; o mais baixo será chamado de sombrio.
Portanto, $P$ é a união de $3$ partes disjuntas: o conjunto dos pontos iluminados, o conjunto dos pontos
sombrio e o contorno aparente $\gamma$.
Seja $Lu(P)$ a união do conjunto dos pontos iluminados de $P$ e do contorno aparente de $P$, e $So(P)$
a sombra de P. Cada ponto de $So(P)$ é a sombra de um único ponto de $Lu(P)$. Isto é, o mapa que leva
cada ponto $x \in Lu(P)$ à sua sombra $x' \in So(P)$ é uma bijeção entre $Lu(P)$ e $So(P)$. Usaremos
a notação $Lu(P)$ para representar o polígono $So(P)$ decomposto como a união de polígonos justapostos,
que são sombras das faces contidas em $Lu(P)$, ou seja, das faces iluminadas.
Evidentemente, também podemos considerar o conjunto $\overline{Lu}(P)$, formado pela união do conjunto dos
pontos sombrios de $P$ e do contorno aparente de $P$. O mapa que leva cada ponto $y \in \overline{Lu}(P)$
à sua sombra $y' \in So(P)$ também é uma bijeção entre $\overline{Lu}(P)$ e $So(P)$. Escreveremos
$\overline{Lu}(P)$ para indicar a sombra de $\overline{Lu}(P)$ expressa como a união das sombras das
faces sombrias de $P$, ou seja, contidas em $\overline{Lu}(P)$.
Finalmente, se decompusermos cada face de $P$ em triângulos, traçando diagonais em cada uma delas,
alteraremos os números $F$, $A$ e $V$ individualmente, mas a expressão $F-A+V$ permanece com o mesmo
valor, já que cada vez que se traça uma diagonal, os números $F$ e $A$ aumentam igualmente, na expressão
$F-A+V$ eles se cancelam. Portanto, sem perda de generalidade, suponhamos que todas as faces de $P$ são triângulos.
Como toda face tem $3$ arestas e cada aresta pertence a $2$ faces, temos que $3F=2A$. Existem $F$ triângulos e
a soma dos ângulos internos de cada um é igual a $\pi$ radianos, portanto, a soma $\Sigma$ dos ângulos internos dos
triângulos que compõe $P$ é dada por $\Sigma=2\pi A - 2\pi F$. Mas por outro lado, temos que
$\Sigma = \Sigma_1 + \Sigma_2$, onde $\Sigma_1$ é a soma dos ângulos internos dos triângulos iluminados e
$\Sigma_2$ é a soma dos ângulos internos dos triângulos sombrios.
Já que a soma dos ângulos internos de um triângulo $\Delta$ é igual à soma dos ângulos internos da sua sombra
$So(\Delta)$, temos que $\Sigma_1$ é igual à soma dos ângulos internos dos triângulos nos quais está decomposta a
sombra de $Lu(P)$. Para calcular esta soma, somemos os ângulos vértice a vértice.
Seja $V_1$ o número de vértices iluminados, $V_2$ o número de vértices sombrios, e $V_0$ o número de
vértices do contorno aparente $\gamma$. Então $V=V_0 + V_1 + V_2$. Note ainda que $V_0$ também é o
número de vértices (e de lados) da poligonal $\gamma'$, contorno de $So(P)$.
Em $Lu(P)$, temos $V_1$ vértices interiores (sombras dos vértices iluminados) mais $V_0$ vértices do
contorno $\gamma'$. A soma dos ângulos que têm como vértices um dados vértice interior é igual a $2\pi$ radianos.
A soma de todos os ângulos que têm vértice sobre o contorno $\gamma'$ é igual a $\pi(V_0-2)$, de acordo com a
expressão da soma dos ângulos internos de um polígono com $V_0$ lados.
Ficamos com $\Sigma_1 = 2\pi V_1+\pi(V_0-2)$, e analogamente, $\Sigma_2 = 2\pi V_2+\pi(V_0-2)$,
daí podemos somar estas igualdades, obtendo $\Sigma = \Sigma_1+\Sigma_2 =$
$2\pi\left(V_0+V_1+V_2\right)-4\pi=2\pi V-4\pi$.
Comparando com a igualdade $\Sigma = 2\pi A-2\pi F$ e dividindo por $2\pi$, resulta que $A-F=V-2 \iff V-A+F=2$.