A prova do dia é: Domínio de integridade finito é um corpo de Galois
Teorema: Todo domínio de integridade finito é um corpo de Galois
Prova:
Pela definição de corpo, para que um domínio $\mathcal{D}=(D,+,\cdot)$ seja
um corpo, deve existir $a^{-1}$ tal que $a\cdot a^{-1} = 1, \forall a\in \mathcal{D}^{*}$.
Seja o homomorfismo $\psi:\mathcal{D}\to\mathcal{D}$ tal que $\psi(x)=\alpha\cdot x$,
$\alpha \neq 0$.
Temos que $ker(\psi)=\{x\in\mathcal{D}\mid\alpha\cdot x = 0\} = \{0\}$, já que por definição,
$\mathcal{D}$ não possui divisores de zero. Então $\psi$ é injetivo, o que implica que ele é sobrejetivo também,
pois $\mathcal{D}$ é finito (princípio da casa dos pombos). Então, $\exists x\in\mathcal{D} \mid \alpha\cdot x=1$.
Portanto $x=a^{-1}$, e $\mathcal{D}$ é um corpo finito, como queríamos.